Glumac Vuk Kostić je odigrao veliki broj uloga u domaćim filmovima i serijama u kojima je pokazao svoj talenat. Vuk dolazi iz glumačke loze, s tim da je njegov otac Mihajlo Kostić Pljaka bio poznati glumac, a djed Nestor i pradjed Mihajlo također su se bavili glumačkim poslom. Majka mu je, pak, radila kao profesorica na Institutu za strane jezike i bila je popustljivija u odnosu na oca. Dok su odrastali, Vuk i njegov stariji brat Nestor pratili su svog oca na izlete u lov i ribolov, potaknuvši njihovu strast prema tim aktivnostima na otvorenom. Osim toga, Vuk je od malih nogu imao priliku komunicirati s cijenjenim glumcima poput Mike Aleksića i Dragana Nikolića, što je dodatno oblikovalo njegov interes za svijet glume.
Početkom 2011. između Vuka i njegove kolegice Jelisavete Orašanin procvjetala je romantična veza. Unatoč tome što je izrazio želju da s njom zasnuje obitelj, 2015. odlučili su prekinuti vezu. No, sudbina se umiješala 2016. kada su se Vuk i Jelisaveta pomirili tijekom zajedničkog rada na seriji “Ubojice mog oca”. Svetlana Ražnatović Ceca, poznata ličnost estrade, izrazila je želju da Vuk glumi njenog pokojnog supruga Arkana u filmu “Tigrov skok”, koji je snimljen po njegovom izuzetnom životu. Vuka su mediji često povezivali s talentiranom pjevačicom Ninom Badrić, jer je često posjećivao njezine koncerte. Gubitak oca, kojeg je duboko cijenio, duboko je utjecao na njega. Dodatno, dodatno ga je pogodio odlazak kolege Marinka Madžgalje s kojim se nadao da će surađivati na budućim projektima. Unatoč svojoj slavi, Vuk se trudi čuvati svoju privatnost, odlučno tvrdeći da njegov osobni život nema veze s onim što se o njemu piše u novinama. Izbjegava e-mail i bilo kakvu prisutnost na društvenim mrežama, a slobodno vrijeme radije provodi u prirodi ili ploveći jedrilicom.
Iako je dugo vremena bila u braku s poznatim balkanskim glumcem, majka Vuka Kostića, Gordana Kostić, nikada nije bila u centru pažnje. Aktivno je izbjegavala javno izlaganje, što je rezultiralo nedostatkom njezinih javno dostupnih fotografija sve do nedavno. Vuk Kostić u intervjuima često ističe značaj prisustva svoje majke u njegovom životu, ističući njenu snagu i nepokolebljivu podršku njemu i njegovom bratu Nestoru. Njegova majka je skromna, ali izdržljiva žena koja preferira povučeni način života. Podijelivši na svom “Instagram” profilu retro fotografiju iz djetinjstva, Kostić je jasno stavio do znanja da njegova majka zauzima značajno mjesto u njegovom srcu. Iako je slika zastarjela, ona služi kao nostalgični testament glumčevih dragih sjećanja. Na fotografiji se vidi Vuk u zagrljaju svoje majke, uronjen u more, dok je njegov brat u sličnoj situaciji. Evidentni osmjesi na njihovim licima otkrivaju neospornu povezanost ovog trojca, bliskost koju je teško previdjeti. Godine 2001. preminuo je otac Vuka Kostića, Mihajlo Kostić Pljaka, a supruga Gordana ostala je udovica. Njegova smrt u 68. godini života potaknula je Gordanu da se u potpunosti posveti svojoj djeci, posebice sinovima. Svesrdno ih je podržavala u njihovim karijerama, dajući prednost njihovim težnjama i željama.
Po uzoru na oca, vuk je razvio strast prema glumi, sportu i lovu. Ponosan je što u Pljaki ima izuzetnog uzora. Osim Pljake, brat i ja smo razvili strast prema sportu i lovu. Moju nemirnu narav bilo je teško smiriti, pa me otac odlučio upisati u školu glume, nadajući se da ću u tom okruženju pronaći neki intelektualni poticaj. Jako sam se zainteresirao za glumu i književnost, provodeći mnogo vremena s očevim prijateljima glumcima, posebno s Draganom Nikolićem. Unatoč tome, mnogi su vjerovali da ću u konačnici nastaviti karijeru u atletici. Međutim, valja napomenuti da je i moja majka odigrala značajnu ulogu u oblikovanju mog odrastanja.
